变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

已知当 $y=1$ 时，$x=1$。

(a) 解此微分方程，得到用 $x$ 表示 $y$ 的表达式。

(b) 写出当 $x$ 趋于无穷大时 $y$ 的值的变化情况。答案用精确形式表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分离变量后，对 $1/[y(y+1)]$ 做部分分式。初值所在分支有 $y>0$，可合并对数；最后指数化并解出 $y$，同时保留该分支的定义域。

Rearranging and separating variables,

Since

integration gives

On the branch through $(1,1)$, $y>0$, so the initial condition gives

Hence

Multiplying by $2(y+1)$ and collecting the terms in $y$,

Thus

The branch containing the initial point has $x>1/(1+\ln2)$, where the denominator is positive.

在初值分支内令 $x\to\infty$，指数中的 $1/x$ 趋于零。

As $x\to\infty$, $e^{1/x-1}\to e^{-1}$. Therefore