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CIE 9709 2023 Nov Paper 32 Q2

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2023 Nov Paper 32 Paper · Question 2

题目

Problem

The parametric equations of a curve are

x=(ln⁡t)2,y=e2−t2,x=(\ln t)^2,\qquad y=\mathrm{e}^{2-t^2},

for t>0t>0.

Find the gradient of the curve at the point where t=et=\mathrm{e}, simplifying your answer.

(4)
题目中文翻译

一条曲线的参数方程为

x=(ln⁡t)2,y=e2−t2,x=(\ln t)^2,\qquad y=\mathrm{e}^{2-t^2},

其中 t>0t>0。

求曲线上 t=et=\mathrm{e} 对应点处的斜率，并化简答案。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

分别对参数求导，用导数之比求斜率，再代入 t=et=e。合并指数时注意额外的 e2e^2 因子。

答题过程

展开

Differentiating with respect to tt,

dxdt= 2ln⁡tt,dydt= −2te2−t2.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,\frac{2\ln t}{t},\\[4mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,-2te^{2-t^2}. \end{align*}

Therefore

dydx= −2te2−t22ln⁡t/t= −t2e2−t2ln⁡t.\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{-2te^{2-t^2}}{2\ln t/t}\\[4mm] =&\,-\frac{t^2e^{2-t^2}}{\ln t}. \end{align*}

At t=et=e, ln⁡t=1\ln t=1 and dx/dt=2/e≠0\mathrm{d}x/\mathrm{d}t=2/e\ne0, so the gradient is

−e2e2−e2=−e4−e2.\boxed{-e^2e^{2-e^2}=-e^{4-e^2}}.