图中显示了曲线 $y=x\cos2x$，其中 $x\ge0$。

(a) 求该曲线上 $x=\frac12\pi$ 处的切线方程。

(b) 求图中由该曲线与 $x$ 轴围成的阴影区域的精确面积。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导，在指定横坐标计算纵坐标与切线斜率，再用点斜式。

For $y=x\cos2x$,

At $x=\pi/2$,

Thus the tangent is

or $\boxed{x+y=0}$.

阴影是原点右侧第一块在横轴上方的区域，右端为 $\cos2x=0$ 的第一个正根 $\pi/4$。用分部积分处理 $x\cos2x$。

The first positive zero is $x=\pi/4$, and $x\cos2x\ge0$ on $0\le x\le\pi/4$. Thus

Integrating by parts with $u=x$ and $\mathrm{d}v=\cos2x\,\mathrm{d}x$,

Therefore