题目

Problem

The polynomial $2x^3+ax^2+bx+6$ , where $a$ and $b$ are constants, is denoted by $\mathrm{p}(x)$ . When $\mathrm{p}(x)$ is divided by $(x+2)$ the remainder is $-38$ and when $\mathrm{p}(x)$ is divided by $(2x-1)$ the remainder is $\frac{19}2$ .

Find the values of $a$ and $b$ .

(5)

题目中文翻译

多项式 $2x^3+ax^2+bx+6$ 记为 $\mathrm{p}(x)$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。 $\mathrm{p}(x)$ 除以 $(x+2)$ 的余数为 $-38$ ，除以 $(2x-1)$ 的余数为 $\frac{19}2$ 。

求 $a$ 和 $b$ 的值。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

用余式定理分别代入除式的零点 $-2$ 与 $1/2$ ，得到两个一次方程。

答题过程

展开

By the remainder theorem, $\mathrm p(-2)=-38$ , so

2(-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+6=-38.

Hence

\begin{align*} 4a-2b=&\,-28,\\[4mm] 2a-b=&\,-14. \end{align*}

Also $\mathrm p(1/2)=19/2$ , giving

\frac14+\frac a4+\frac b2+6=\frac{19}{2}.

Multiplying by $4$ gives $a+2b=13$ . From $2a-b=-14$ , $b=2a+14$ . Thus

\begin{align*} a+2(2a+14)=&\,13,\\[4mm] 5a=&\,-15. \end{align*}

Therefore $\boxed{a=-3,\qquad b=8}$ .

CIE 9709 2023 Nov Paper 33 Q3

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