一条曲线的方程为 $x^3+y^2+3x^2+3y=4$。

(a) 证明 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{3x^2+6x}{2y+3}$。

(b) 由此求曲线上切线平行于 $x$ 轴的各点的坐标。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

对 $y^2$ 与 $3y$ 求导时均须乘以 $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$。收集导数项，保持目标式的整体负号。

Differentiating implicitly,

Therefore

so

水平切线要求导数分子为零。两个横坐标分别代回曲线，每个都对应两个纵坐标；最后检查分母不为零。

For a tangent parallel to the $x$-axis,

Thus $x=0$ or $x=-2$.

If $x=0$, the curve equation gives

so $y=1$ or $y=-4$.

If $x=-2$,

so $y=0$ or $y=-3$.

At all four points, $2y+3\ne0$, so the derivative is indeed zero. The points are