多项式 $4x^3+ax^2+5x+b$ 记为 $\mathrm{p}(x)$，其中 $a$ 和 $b$ 为常数。已知 $(2x+1)$ 是 $\mathrm{p}(x)$ 的一个因式。$\mathrm{p}(x)$ 除以 $(x-4)$ 所得的余数等于 $\mathrm{p}(x)$ 除以 $(x-2)$ 所得余数的 $3$ 倍。

求 $a$ 和 $b$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

因式条件先给一个方程，余式的三倍关系给另一个方程。代入时要注意二倍一次因式的根为负二分之一。

Since $2x+1$ is a factor, $p(-1/2)=0$. Hence

so

By the remainder theorem, the other condition is $p(4)=3p(2)$:

Simplifying,

Using $b=3-a/4$ from (1) in (2),

Therefore