求 $\displaystyle\int_1^3 x^2\ln3x\,\mathrm{d}x$ 的精确值。答案以 $a\ln b+c$ 的形式表示，其中 $a$ 和 $c$ 为有理数，$b$ 为整数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用分部积分，使对数求导、多项式积分。代入端点后把 $\ln9$ 化成 $2\ln3$。

Let $I=\int_1^3x^2\ln(3x)\,\mathrm{d}x$. For integration by parts, take $u=\ln(3x)$ and $\mathrm{d}v=x^2\,\mathrm{d}x$, so $\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/x$ and $v=x^3/3$. Then