图中显示了曲线 $y=\sin2x(1+\sin2x)$ 及其极小值点 $M$，其中 $0\le x\le\frac34\pi$。由位于 $x$ 轴上方的曲线部分与 $x$ 轴围成的阴影区域记为 $R$。

(a) 已知 $M$ 的 $x$ 坐标位于区间 $\frac12\pi<x<\frac34\pi$ 内，求 $M$ 的精确坐标。

(b) 求区域 $R$ 的精确面积。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

乘积求导后因式分解，在指定开区间选驻点。再代回函数求纵坐标，并检查是最小值。

Differentiating,

For $\pi/2<x<3\pi/4$, we have $\pi<2x<3\pi/2$, so $\cos2x$ is nonzero. Thus the stationary point satisfies

In this interval, $2x=7\pi/6$, giving $x=7\pi/12$. Then

Also $y=s+s^2=(s+1/2)^2-1/4$, with $s=\sin2x$, so $-1/4$ is the minimum value. Therefore

阴影在横轴上方，对应 $0$ 到 $\pi/2$。平方正弦用降幂公式积分。

The curve is above the horizontal axis for $0<x<\pi/2$. For $\pi/2<x<3\pi/4$, it is below it, so only the first interval contributes to $R$.

Thus

也可把原来的两个因式直接用于分部积分，再把剩下的平方余弦降幂。

As in the first method, the area is the integral over $0\leqslant x\leqslant\pi/2$. Take $u=1+\sin2x$ and $\mathrm{d}v=\sin2x\,\mathrm{d}x$. Then $\mathrm{d}u=2\cos2x\,\mathrm{d}x$ and $v=-\frac12\cos2x$. Thus