设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{5x^2+8x+5}{(1+2x)(2+x^2)}$。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 由此求 $\mathrm{f}(x)$ 的展开式中 $x^3$ 的系数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

不可约二次因式使用一次分子。先代根，再比较二次项与常数项。

Write

Multiplying through,

Putting $x=-1/2$ gives $9/4=(9/4)A$, so $A=1$.

Comparing the coefficients of $x^2$ and the constants,

Hence $B=2$ and $C=3$. The linear coefficient checks: $B+2C=8$. Therefore

沿用部分分式，只找三次项的来源。第一个分式贡献等比展开的三次项，第二个分式只有一次分子乘二次项会产生三次项。

Using (a),

and

The first fraction contributes $-8$ to the coefficient of $x^3$. In the second fraction, the relevant product is

Hence the coefficient of $x^3$ is