题目

Problem

(a) Given that $z=1+y\mathrm{i}$ and that $y$ is a real number, express $\frac1z$ in the form $a+b\mathrm{i}$ , where $a$ and $b$ are functions of $y$ .

(2)

(b) Show that $\big(a-\frac12\big)^2+b^2=\frac14$ , where $a$ and $b$ are the functions of $y$ found in part (a).

(3)

(c) On a single Argand diagram, sketch the loci given by the equations $\operatorname{Re}(z)=1$ and $\big|z-\frac12\big|=\frac12$ , where $z$ is a complex number.

(3)

(d) The complex number $z$ is such that $\operatorname{Re}(z)=1$ . Use your answer to part (b) to give a geometrical description of the locus of $\frac1z$ .

(1)

题目中文翻译

(a) 已知 $z=1+y\mathrm{i}$ 且 $y$ 为实数，将 $\frac1z$ 表示为 $a+b\mathrm{i}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为 $y$ 的函数。

(2)

(b) 证明 $\big(a-\frac12\big)^2+b^2=\frac14$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为 (a) 问中求得的 $y$ 的函数。

(3)

(d) 复数 $z$ 满足 $\operatorname{Re}(z)=1$ 。利用 (b) 问的答案，给出 $\frac1z$ 的轨迹的几何描述。

(1)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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乘分母共轭，把分母化为实数。

答题过程

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Since $z=1+y\mathrm{i}$ ,

\begin{align*} \frac1z=&\,\frac{1-y\mathrm{i}}{(1+y\mathrm{i})(1-y\mathrm{i})}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac1{1+y^2}-\frac{y}{1+y^2}\mathrm{i}}. \end{align*}

Thus $a=1/(1+y^2)$ and $b=-y/(1+y^2)$ .

(b)

解法一

思路

展开

把(a)的两个函数代入，先合并 $a^2+b^2$ ，再完成平方。

答题过程

展开

Using (a),

\begin{align*} a^2+b^2=&\,\frac{1+y^2}{(1+y^2)^2}\\[4mm] =&\,\frac1{1+y^2}=a. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \bigg(a-\frac12\bigg)^2+b^2 =&\,a^2-a+\frac14+b^2\\ =&\,(a^2+b^2)-a+\frac14\\ =&\,\boxed{\frac14}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

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竖直直线由固定实部确定，圆由实轴上的圆心及半径确定。这里题目单独要求的两个完整轨迹都要画出。

答题过程

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On one Argand diagram, draw

the vertical line $\operatorname{Re}z=1$ , through $1+0\mathrm{i}$ ;
the circle with centre $(1/2,0)$ and radius $1/2$ .

The circle passes through $0$ and $1$ and is tangent to the vertical line at $(1,0)$ .

(d)

解法一

思路

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用(b)确定所在圆，再注意倒数不可能为零。也可用反向构造验证圆上其余点都能取到。

答题过程

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By (b), the locus of $1/z$ is the circle with centre $(1/2,0)$ and radius $1/2$ , excluding the origin because $1/z\ne0$ .

Conversely, on this circle any nonzero point $w=a+b\mathrm{i}$ has $a^2+b^2=a>0$ . Choosing $y=-b/a$ gives $w=1/(1+y\mathrm{i})$ .

Thus every other point of the circle is attained, so the locus is

\boxed{|w-\tfrac12|=\tfrac12,\qquad w\ne0}.

CIE 9709 2024 November Paper 31 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程