点 $A$ 相对于原点 $O$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OA}=8\mathbf{i}-5\mathbf{j}+6\mathbf{k}$。 直线 $l$ 经过 $A$，且平行于向量 $2\mathbf{i}+\mathbf{j}+4\mathbf{k}$。

(a) 写出直线 $l$ 的一个向量方程。

(b) 点 $B$ 相对于原点 $O$ 的位置向量为 $\overrightarrow{OB}=-t\mathbf{i}+4t\mathbf{j}+3t\mathbf{k}$，其中 $t$ 为常数。直线 $l$ 也经过 $B$。

求 $t$ 的值。

(c) 直线 $m$ 的向量方程为

直线 $l$ 与 $m$ 的方向之间的锐角为 $\theta$，其中 $\cos\theta=\frac1{\sqrt6}$。

求 $a$ 的可能值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

已知直线上一点与平行方向，直接写参数向量方程。

A vector equation is

把点 $B$ 的三个分量与直线参数形式比较，先联立两项求值，再验证第三项。

Since $B$ is on $l$,

From the second component, $\lambda=4t+5$. Substituting in the first,

so $t=-2$ and $\lambda=-3$.

The third component checks: $3t=-6=6+4(-3)$. Hence $\boxed{t=-2}$.

锐角公式使用点积绝对值，所以两个方向分支都可以保留。平方后解二次方程并检查。

The direction vectors are $(2,1,4)$ and $(a,-1,3)$. Their scalar product is $2a+11$, and their moduli are $\sqrt{21}$ and $\sqrt{a^2+10}$.

For the acute angle,

Squaring and multiplying through,

Expanding and simplifying,

Both candidates satisfy the original absolute-value equation, since the denominators are positive. Thus