一个球形气球的体积为 $V$，半径为 $r$。从时刻 $t=0$ 且 $r=0$ 开始，以 $40\pi$ 的恒定速率向气球内充气。同时，空气开始以 $0.8\pi r$ 的速率从气球流出。气球始终保持球形。

(a) 证明 $r$ 和 $t$ 满足微分方程

(b) 求 $5r^2$ 除以 $50-r$ 所得的商和余数。

(c) 解 (a) 问中的微分方程，求出用 $r$ 表示 $t$ 的表达式。

(d) 求气球半径为 $12$ 时的 $t$ 值。

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Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

净流入是流入减流出。用球体体积对半径的导数连接两种变化率。

The net rate of volume increase is

Since $V=\frac43\pi r^3$,

For $r>0$, the chain rule gives

商是一次式，先比较二次项和一次项系数，再求常数余式。

Write

Comparing coefficients gives

Thus $A=-5$, $B=-250$ and $C=12500$. Therefore

The quotient is $\boxed{-5r-250}$ and the remainder is $\boxed{12500}$.

分离变量后使用(b)的除法结果积分。初始半径为零时用所得时间函数确定常数。

From (a),

Using (b), the last term integrates to $-12500\ln|50-r|$ because $\mathrm{d}(50-r)/\mathrm{d}r=-1$. Integrating gives

Using $t=0$, $r=0$ gives $C=12500\ln50$.

The physically relevant solution starts at $r=0$ and has $0\leqslant r<50$, so

The relation extends continuously to $r=0$, where $t=0$.

把半径十二代入(c)的时间表达式。

Using (c),

Therefore $\boxed{t=70.5}$.