题目

Problem

(a) The complex number $u$ is given by

u=\frac{\big(\cos\frac17\pi+\mathrm{i}\sin\frac17\pi\big)^4}{\cos\frac17\pi-\mathrm{i}\sin\frac17\pi}.

Find the exact value of $\arg u$ .

(2)

(b) The complex numbers $u$ and $u^*$ are plotted on an Argand diagram.

Describe the single geometrical transformation that maps $u$ onto $u^*$ and state the exact value of $\arg u^*$ .

(2)

题目中文翻译

(a) 复数 $u$ 为

u=\frac{\big(\cos\frac17\pi+\mathrm{i}\sin\frac17\pi\big)^4}{\cos\frac17\pi-\mathrm{i}\sin\frac17\pi}.

求 $\arg u$ 的精确值。

(2)

(b) 复数 $u$ 和 $u^*$ 被标在 Argand 图上。

描述将 $u$ 映射到 $u^*$ 的单一几何变换，并写出 $\arg u^*$ 的精确值。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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用指数形式和 De Moivre 定理，分子的辐角乘四，除法再减去分母的负辐角。

答题过程

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Using exponential form,

u=\frac{(e^{\pi\mathrm{i}/7})^4}{e^{-\pi\mathrm{i}/7}} =e^{5\pi\mathrm{i}/7}.

Since $5\pi/7$ is in the principal argument interval,

\boxed{\arg u=\frac{5\pi}{7}}.

(b)

解法一

思路

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共轭关于实轴反射，辐角取相反数。

答题过程

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The transformation is a $\boxed{\text{reflection in the real axis}}$ .

The conjugate has exact argument

\boxed{\arg u^*=-\frac{5\pi}{7}}.

CIE 9709 2024 November Paper 32 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程