(a) 证明当 $\tan x\ne0$ 时，方程 $\tan^3x+2\tan2x-\tan x=0$ 可以表示为

(b) 由此解方程 $\tan^32\theta+2\tan4\theta-\tan2\theta=0$，其中 $0<\theta<\pi$。答案以精确形式表示。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用正切二倍角代入，先去分母，再按题设非零条件除去一次因子。

Let $T=\tan x$. The original equation requires $T$ to be finite and $1-T^2\ne0$.

Using $\tan2x=2T/(1-T^2)$,

Multiplying through,

Expanding,

For $T\ne0$, dividing by $-T$ gives

先保留(a)除掉的零正切情形，再解非零部分的四次方程，避免漏解。

Put $T=\tan2\theta$.

First, $T=0$ gives $2\theta=\pi$ in $0<2\theta<2\pi$, so

Direct substitution gives $\tan^3\pi+2\tan2\pi-\tan\pi=0$, so this is valid.

For $T\ne0$, use (a):

Thus $T=\pm\sqrt3$, giving

All corresponding angles have both tangents defined. Therefore the complete solution is