题目

Problem

The parametric equations of a curve are

x=\tan^22t,\quad y=\cos2t,

for $0<t<\frac14\pi$ .

(a) Show that $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac12\cos^32t$ .

(4)

(b) Hence find the equation of the normal to the curve at the point where $t=\frac18\pi$ . Give your answer in the form $y=mx+c$ .

(4)

题目中文翻译

一条曲线的参数方程为

x=\tan^22t,\quad y=\cos2t,

其中 $0<t<\frac14\pi$ 。

(a) 证明 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac12\cos^32t$ 。

(4)

(b) 由此求曲线上 $t=\frac18\pi$ 处的法线方程。答案以 $y=mx+c$ 的形式表示。

(4)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

分别求参数导数后相除，约掉正弦因子即可得到余弦三次方。

答题过程

展开

Differentiating,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=&\,4\tan2t\sec^22t,\\[4mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=&\,-2\sin2t. \end{align*}

Hence

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,\frac{-2\sin2t}{4\tan2t\sec^22t}\\ =&\,-\frac12\frac{\sin2t}{\sin2t/\cos^32t}\\ =&\,\boxed{-\frac12\cos^32t}. \end{align*}

The cancellation is valid since $0<t<\pi/4$ gives $\sin2t>0$ and $\cos2t>0$ .

(b)

解法一

思路

展开

先找参数对应的点，再由切线斜率取负倒数求法线斜率。

答题过程

展开

At $t=\pi/8$ ,

\begin{align*} x=&\,\tan^2\frac\pi4=1,\\[4mm] y=&\,\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2}. \end{align*}

From (a), the tangent gradient is

m_T=-\frac12\bigg(\frac{\sqrt2}{2}\bigg)^3 =-\frac{\sqrt2}{8}.

Therefore the normal gradient is $m_N=-1/m_T=4\sqrt2$ . The normal is

y-\frac{\sqrt2}{2}=4\sqrt2(x-1),

\boxed{y=4\sqrt2\,x-\frac{7\sqrt2}{2}}.

CIE 9709 2024 November Paper 32 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程