一个长方体水箱的底面积为 $40\,000\text{ cm}^2$。在时刻 $t$ 分钟，水箱内的水深为 $h\text{ cm}$。水以每分钟 $50\,000\text{ cm}^3$ 的速率被泵入水箱。同时，水通过水箱底部的一个孔，以每分钟 $600h\text{ cm}^3$ 的速率漏出。

(a) 证明 $200\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=250-3h$。

(b) 已知当 $t=0$ 时，$h=50$。

求水箱内的水深达到 $80\text{ cm}$ 所需的时间。答案保留 $2$ 位有效数字。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用底面积把体积写成水深的函数，再以流入减流出表示净变化率。

The volume is $V=40000h$, so

The net inflow rate is

Equating these expressions and dividing by $200$,

分离变量后积分，初值确定常数。目标水深低于平衡深度，所以所用对数真数为正。

Separating variables,

Using $\int(250-3h)^{-1}\,\mathrm{d}h=-\frac13\ln|250-3h|+C_1$, the separated equation integrates to

Using $h=50$ at $t=0$ gives $C=-\frac13\ln100$.

For $50\leqslant h\leqslant80<250/3$, $250-3h>0$. Hence

When $h=80$,

To 2 significant figures, the required time is $\boxed{150\text{ minutes}}$.