图中显示了曲线 $y=2\sin x\sqrt{2+\cos x}$ 及其极小值点 $M$，其中 $0\le x\le2\pi$，且 $M$ 处的 $x=a$。

(a) 求 $a$ 的值，结果保留 $2$ 位小数。

(b) 使用代换 $u=2+\cos x$，求阴影区域 $R$ 的精确面积。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

乘积与链式法则求导后，把驻点条件化成关于 $\cos x$ 的二次方程。选择下半周期对应的极小点。

Differentiating,

Since $2+\cos x\geqslant1$, setting the derivative to zero gives

Using $\sin^2x=1-\cos^2x$,

Thus

Only $(-2+\sqrt7)/3$ is in $[-1,1]$. The corresponding point in $(0,\pi)$ has positive $y$, while the one in $(\pi,2\pi)$ has negative $y$ and is the minimum.

Therefore

so $\boxed{a=4.93}$.

阴影是零到 $\pi$ 的正面积。指定换元后，负微分与倒转的上下限相抵。

The shaded region is above the horizontal axis for $0\leqslant x\leqslant\pi$. Its area is

Let $u=2+\cos x$. Then $\mathrm{d}u=-\sin x\,\mathrm{d}x$, and

Therefore