直线 $l$ 和 $m$ 的向量方程为

和

直线 $l$ 和 $m$ 相交于点 $P$。

(a) 写出 $P$ 的坐标。

(b) 求直线 $l$ 与 $m$ 之间锐角的余弦的精确值。

(c) 直线 $l$ 上的点 $A$ 的坐标为 $(0,1,1)$。直线 $m$ 上的点 $B$ 的坐标为 $(0,2,-8)$。

求三角形 $APB$ 的精确面积。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

两条直线相同的位置向量对应各自参数为零时的公共点。

Both lines pass through the point with position vector $2\mathbf i+\mathbf j-3\mathbf k$. Hence

求两条方向向量的点积，锐角取点积绝对值。

The direction vectors are $(-1,0,2)$ and $(2,-1,5)$. Their scalar product is

The moduli are $\sqrt5$ and $\sqrt{30}$. Thus the acute angle $\theta$ satisfies

在两条直线上各选距公共点一个方向向量的位置，组成三角形后用余弦定理。

Choose points $U=P+(-1,0,2)$ on $l$ and $V=P+(2,-1,5)$ on $m$. Then

Also $\overrightarrow{UV}=(3,-1,3)$, so $UV^2=19$.

By the cosine rule,

This is positive, so $\angle UPV$ is the acute angle between the lines.

三角形在 $P$ 的夹角可能是两直线锐角的补角，但正弦相同。求实际边长后用正弦面积公式。

Using the coordinates,

Thus $PA=2\sqrt5$ and $PB=\sqrt{30}$.

The angle $\angle APB$ has the same sine as the acute angle $\theta$ in (b). Hence

Therefore