题目

Problem

Let $\mathrm{f}(x)=\dfrac{7a^2}{(a-2x)(3a+x)}$ , where $a$ is a positive constant.

(a) Express $\mathrm{f}(x)$ in partial fractions.

(3)

(b) Hence obtain the expansion of $\mathrm{f}(x)$ in ascending powers of $x$ , up to and including the term in $x^2$ .

(4)

(1)

题目中文翻译

设 $\mathrm{f}(x)=\dfrac{7a^2}{(a-2x)(3a+x)}$ ，其中 $a$ 为正常数。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(3)

(b) 由此将 $\mathrm{f}(x)$ 按 $x$ 的升幂展开，直至并包括 $x^2$ 项。

(4)

(1)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

对两个一次因式设常数分子，代入它们的根分别求系数。

答题过程

展开

Write

f(x)=\frac A{a-2x}+\frac B{3a+x}.

Then

7a^2=A(3a+x)+B(a-2x).

Putting $x=a/2$ gives $7a^2=(7a/2)A$ , so $A=2a$ .

Putting $x=-3a$ gives $7a^2=7aB$ , so $B=a$ . Hence

\boxed{f(x)=\frac{2a}{a-2x}+\frac a{3a+x}}.

(b)

解法一

思路

展开

沿用(a)，把两项各自展开，再合并系数。

答题过程

展开

From (a),

\begin{align*} \frac{2a}{a-2x} =&\,2\bigg(1-\frac{2x}{a}\bigg)^{-1}\\[4mm] =&\,2+\frac{4x}{a}+\frac{8x^2}{a^2}+\cdots, \end{align*}

and

\begin{align*} \frac a{3a+x} =&\,\frac13\bigg(1+\frac{x}{3a}\bigg)^{-1}\\[4mm] =&\,\frac13-\frac{x}{9a}+\frac{x^2}{27a^2}+\cdots. \end{align*}

Adding,

\begin{align*} f(x)=&\,\frac73+\bigg(4-\frac19\bigg)\frac xa\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\bigg(8+\frac1{27}\bigg)\frac{x^2}{a^2}+\cdots\\[4mm] =&\,\boxed{\frac73+\frac{35x}{9a}+\frac{217x^2}{27a^2}+\cdots}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

两个展开条件取交集。

答题过程

展开

The conditions are $|2x/a|<1$ and $|x/(3a)|<1$ . Since $a>0$ , both hold when

\boxed{-\frac a2<x<\frac a2}.

CIE 9709 2024 November Paper 33 Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程