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CIE 9709 2025 November Paper 31 Q11

A Level / CIE / P3

CIE 9709 2025 Nov Paper 31 Paper · Question 11

题目

Problem

With respect to the origin OO, the points AA, BB, CC and DD have position vectors given by

OA→= (153),OB→=(041),OC→= (1−31)andOD→=(3−54).\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,\begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix},\\ \overrightarrow{OC}=&\,\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix}\quad\text{and}\quad \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}. \end{align*}

The line mm passes through the points AA and BB.

(a) Find a vector equation for mm.

(2)

(b) Find the position vector of the point of intersection of mm and the line passing through the points CC and DD.

(4)

(c) Find the position vector of the foot of the perpendicular from CC to mm.

(4)
题目中文翻译

相对于原点 OO，点 AA、BB、CC 和 DD 的位置向量为

OA→= (153),OB→=(041),OC→= (1−31),OD→=(3−54).\begin{align*} \overrightarrow{OA}=&\,\begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}0\\4\\1\end{pmatrix},\\ \overrightarrow{OC}=&\,\begin{pmatrix}1\\-3\\1\end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OD}=\begin{pmatrix}3\\-5\\4\end{pmatrix}. \end{align*}

直线 mm 经过点 AA 和 BB。

(a) 求直线 mm 的一个向量方程。

(2)

(b) 求直线 mm 与经过点 CC 和 DD 的直线的交点的位置向量。

(4)

(c) 求从点 CC 向直线 mm 作垂线所得垂足的位置向量。

(4)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

用两点的位置向量之差确定直线方向，方向向量可整体改变符号。

答题过程

展开

A direction vector for mm is

BA→=(1,5,3)−(0,4,1)=(1,1,2).\overrightarrow{BA}=(1,5,3)-(0,4,1)=(1,1,2).

Hence a vector equation is

r=(153)+λ(112),λ∈R.\boxed{\mathbf r= \begin{pmatrix}1\\5\\3\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}, \quad\lambda\in\mathbb R}.

(b)

解法一

思路

展开

用不同参数表示两条直线。先联立两个分量求参数，再验证第三个分量也相等。

答题过程

展开

The line through CC and DD has direction

CD→=(3,−5,4)−(1,−3,1)=(2,−2,3).\overrightarrow{CD}=(3,-5,4)-(1,-3,1)=(2,-2,3).

At an intersection,

1+λ= 1+2μ,5+λ= −3−2μ,3+2λ= 1+3μ.\begin{align*} 1+\lambda=&\,1+2\mu,\\[4mm] 5+\lambda=&\,-3-2\mu,\\[4mm] 3+2\lambda=&\,1+3\mu. \end{align*}

The first two components give

λ=2μ,5+λ=−3−2μ.\lambda=2\mu,\qquad 5+\lambda=-3-2\mu.

Thus 4μ=−84\mu=-8, so μ=−2\mu=-2 and λ=−4\lambda=-4.

The third components agree since 3+2(−4)=−5=1+3(−2)3+2(-4)=-5=1+3(-2). Therefore the intersection has position vector

(−31−5).\boxed{\begin{pmatrix}-3\\1\\-5\end{pmatrix}}.

(c)

解法一

思路

展开

设垂足为直线上的一般点，使从 CC 到该点的向量与直线方向垂直。

答题过程

展开

Let PP be the foot of the perpendicular from CC to mm. Write

OP→=(1+λ, 5+λ, 3+2λ).\overrightarrow{OP}=(1+\lambda,\ 5+\lambda,\ 3+2\lambda).

Then

CP→=(λ, 8+λ, 2+2λ).\overrightarrow{CP}=(\lambda,\ 8+\lambda,\ 2+2\lambda).

Since CP→\overrightarrow{CP} is perpendicular to the direction (1,1,2)(1,1,2),

λ+(8+λ)+2(2+2λ)= 0,6λ+12= 0.\begin{align*} \lambda+(8+\lambda)+2(2+2\lambda)=&\,0,\\ 6\lambda+12=&\,0. \end{align*}

Therefore λ=−2\lambda=-2, giving

OP→=(−13−1).\boxed{\overrightarrow{OP}= \begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}}.