题目

Problem

The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

(x^2+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=kx\mathrm{e}^{2y},

where $k$ is a constant. It is given that $y=0$ when $x=0$ and that $y=-\frac12$ when $x=1$ .

Solve the differential equation and find the exact value of $y$ when $x=\sqrt3$ .

(8)

题目中文翻译

变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

(x^2+1)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=kx\mathrm{e}^{2y},

其中 $k$ 为常数。已知当 $x=0$ 时， $y=0$ ；当 $x=1$ 时， $y=-\frac12$ 。

解这个微分方程，并求当 $x=\sqrt3$ 时 $y$ 的精确值。

(8)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

解法一

思路

展开

分离变量后分别积分。第一个条件确定积分常数，第二个条件确定 $k$ ，最后代入目标 $x$ 并用对数法则化简。

答题过程

展开

Separating variables,

e^{-2y}\,\mathrm{d}y=\frac{kx}{1+x^2}\,\mathrm{d}x.

Using $\int e^{-2y}\,\mathrm{d}y=-\tfrac12e^{-2y}+C_1$ and the substitution $u=1+x^2$ on the right, integration gives

-\frac12e^{-2y}=\frac{k}{2}\ln(1+x^2)+C.

Using $x=0$ , $y=0$ gives $C=-1/2$ . Thus

e^{-2y}=1-k\ln(1+x^2).

Now use $x=1$ , $y=-1/2$ :

e=1-k\ln2 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1-e}{\ln2}.

Therefore

y=-\frac12\ln\bigg(1+\frac{e-1}{\ln2}\ln(1+x^2)\bigg).

The logarithmic argument is positive for all real $x$ . At $x=\sqrt3$ , $\ln(1+x^2)=\ln4=2\ln2$ , so

e^{-2y}=1+2(e-1)=2e-1.

Hence

\boxed{y=-\frac12\ln(2e-1)}.

CIE 9709 2025 November Paper 31 Q8

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解法一

思路

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