图中显示了一个用于盛水的水箱。水箱为棱长 $50\text{ cm}$ 的正方体。在 $t$ 秒时，水箱内的水深为 $h\text{ cm}$。水以 $5000\text{ cm}^3\text{ s}^{-1}$ 的速率注入水箱，同时通过水箱底部的一个孔流出，流出速率与 $h^2$ 成正比。

当 $h=20$ 时，水深以 $0.4\text{ cm s}^{-1}$ 的速率增加。

(a) 证明 $\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}=\frac{500-h^2}{250}$。

(b) 已知当 $t=0$ 时，$h=0$，求水箱内的水深达到 $20\text{ cm}$ 所需的时间。

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请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

水量的净变化等于流入减流出，再用底面积把体积变化率换成水深变化率。给定的瞬时变化率用于确定比例常数。

Let the outflow rate be $kh^2$. The net rate of volume change is

The tank has base area $50^2=2500\text{ cm}^2$, so $V=2500h$. Hence

Using $h=20$ and $\mathrm{d}h/\mathrm{d}t=0.4$,

Therefore

分离变量后，利用平方差分解来积分。目标深度低于平衡深度，因此积分区间内分母恒正。

Let $A=\sqrt{500}=10\sqrt5$. From (a),

On $0\leqslant h\leqslant20<A$, use

Integrating, with $\int (A-h)^{-1}\,\mathrm{d}h=-\ln(A-h)+C_1$ on this interval,

The initial condition $h=0$, $t=0$ gives $C=0$. Therefore at $h=20$,

The required time is $\boxed{16.1\text{ s}}$.