(a) 已知 $\mathrm{f}(x)=(x-a)^2\mathrm{g}(x)$，其中 $\mathrm{f}(x)$ 和 $\mathrm{g}(x)$ 为多项式。

证明 $(x-a)$ 是 $\mathrm{f}'(x)$ 的一个因式。

(b) 已知 $(x-3)^2$ 是 $2x^3-4x^2+px+q$ 的一个因式，其中 $p$ 和 $q$ 为常数。

求 $p$ 和 $q$ 的值。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

用乘积法则求导后提出一次因子。余下部分仍然是多项式。

Differentiating,

The expression in brackets is a polynomial. Hence $\boxed{(x-a)\text{ is a factor of }f'(x)}$.

重复因式使函数及其导数在 $x=3$ 处都为零。先用导数求 $p$，再用原多项式求 $q$。

Let $f(x)=2x^3-4x^2+px+q$. Since $(x-3)^2$ is a factor,

so $3p+q=-18$.

By (a), $x-3$ is also a factor of

Hence

Substituting in $3p+q=-18$ gives $q=72$. Therefore

直接设剩下的一次因式，由最高次项和二次项确定它，再展开求两个待定系数。

Since $(x-3)^2$ is a factor and the leading coefficient is $2$, write

Expanding,

Comparing the coefficient of $x^2$ gives

Therefore

Thus $\boxed{p=-30,\ q=72}$.

多项式除法可以把重复因式条件转换成线性余式为零，提供不需求导的另一条路线。

Dividing $f(x)$ by $x^2-6x+9$, the first quotient term is $2x$. Subtracting

leaves

The next quotient term is $8$. Subtracting $8(x^2-6x+9)$ leaves

Since the division is exact, both remainder coefficients vanish:

Hence $\boxed{p=-30,\ q=72}$.