设 $\mathrm{f}(x)=\frac{x^2+4ax+6a^2}{(x+2a)(x+3a)}$，其中 $a$ 为正常数。

(a) 将 $\mathrm{f}(x)$ 表示为部分分式。

(b) 由此求 $\displaystyle\int_{-a}^a\mathrm{f}(x)\,\mathrm{d}x$ 的精确值。答案写成 $a(p+\ln q)$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 为有理数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分子分母同次，先做除法取得常数项，再对两个一次因式拆分。

Since

we have

Write

Then

Putting $x=-2a$ gives $2a^2=aB$, so $B=2a$. Putting $x=-3a$ gives $3a^2=-aC$, so $C=-3a$.

Thus

在给定区间两个一次因式都为正，可以直接写对数。代入上下限后先合并同一系数的对数，再合成题目要求的一个对数。

From (a), since $a>0$ and $-a\leqslant x\leqslant a$, both $x+2a$ and $x+3a$ are positive. Therefore