题目

Problem

(a) Express $\frac2{1-9y^2}$ in partial fractions.

(2)

(b) The variables $x$ and $y$ satisfy the differential equation

2\cos^23x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-9y^2,

and $y=0$ when $x=\frac1{12}\pi$ .

Solve the differential equation and obtain an expression for $y$ in terms of $x$ .

(6)

题目中文翻译

(a) 将 $\frac2{1-9y^2}$ 表示为部分分式。

(2)

(b) 变量 $x$ 和 $y$ 满足微分方程

2\cos^23x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1-9y^2,

且当 $x=\frac1{12}\pi$ 时， $y=0$ 。

解此微分方程，并求出 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

(6)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先把平方差分解，再对两个一次因式配常数分子。

答题过程

展开

Write

\frac2{1-9y^2} =\frac A{1+3y}+\frac B{1-3y}.

Then

2=A(1-3y)+B(1+3y).

Comparing constant and linear coefficients,

A+B=2,\qquad -3A+3B=0,

so $A=B=1$ . Hence

\boxed{\frac2{1-9y^2} =\frac1{1+3y}+\frac1{1-3y}}.

(b)

解法一

思路

展开

分离变量后直接用(a)积分。初值确定积分常数，最后先指数化，再把 $y$ 解出来。绝对值的符号由初值所在分支确定。

答题过程

展开

Separating variables,

\frac2{1-9y^2}\,\mathrm{d}y=\sec^2(3x)\,\mathrm{d}x.

Using (a) and integrating,

\frac13\ln|1+3y|-\frac13\ln|1-3y| =\frac13\tan3x+C.

The initial condition $y=0$ , $x=\pi/12$ gives

0=\frac13\tan\frac\pi4+C \quad\Longrightarrow\quad C=-\frac13.

On the branch through $y=0$ , $-1/3<y<1/3$ , so

\ln\frac{1+3y}{1-3y}=\tan3x-1.

Let $E=e^{\tan3x-1}>0$ . Then

\begin{align*} 1+3y=&\,E-3Ey,\\[4mm] 3y+3Ey=&\,E-1,\\[4mm] 3y(1+E)=&\,E-1. \end{align*}

Hence

\boxed{y=\frac{e^{\tan3x-1}-1} {3\big(e^{\tan3x-1}+1\big)}}.

The interval containing the initial point is $-\pi/6<x<\pi/6$ . On this interval the formula satisfies $-1/3<y<1/3$ , as used above.

CIE 9709 2025 November Paper 33 Q10

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程