方程为 $y=\mathrm{e}^{-5x}\ln5x$ 的曲线在 $x=p$ 处有一个驻点。

(a) 证明 $p$ 满足方程 $\ln5p=\frac1{5p}$。

(b) 通过画出合适的两个函数图像的草图，证明 (a) 问中的方程只有一个根。

(c) 通过计算证明 $0.2<p<0.6$。

(d) 已知 (a) 问中的方程可写成 $p=\frac15\exp\big(\frac1{5p}\big)$ 的形式，其中 $\exp(x)$ 表示 $\mathrm{e}^x$。

使用基于这一变形的迭代公式计算 $p$，答案精确到小数点后 $2$ 位。每次迭代的结果保留小数点后 $4$ 位。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先对一般变量 $x$ 求导，再代入驻点的 $x=p$，不要在求导前把变量变成常数。

For $x>0$, differentiate using the product rule:

At a stationary point $x=p$, the derivative vanishes. Since $e^{-5p}>0$,

giving

对数要求自变量为正。在正半轴上，对数曲线严格递增，倒数曲线严格递减，且两端的相对高低交换。

Sketch $y=\ln(5x)$ and $y=1/(5x)$ for $x>0$.

The logarithmic curve strictly increases, crosses the horizontal axis at $x=1/5$, tends to $-\infty$ as $x\to0^+$ and grows without bound as $x\to\infty$.

The reciprocal curve is positive, strictly decreasing, and asymptotic to both axes. It tends to $+\infty$ as $x\to0^+$ and to $0$ as $x\to\infty$.

Thus their ordering reverses, so continuity gives an intersection. Opposite strict monotonicity ensures that it is unique.

Hence the equation has $\boxed{\text{exactly one root}}$.

计算连续函数的端点值，变号即可确定根所在区间。

Let $f(p)=\ln(5p)-1/(5p)$. Then

and

Since $f$ is continuous on $[0.2,0.6]$, the sign change proves that $\boxed{0.2<p<0.6}$.

按给定重排构造迭代公式，取区间内的初值。计算保留完整精度，输出四位小数直到两位小数稳定。

Use

with $p_0=0.4$. Retaining full precision during calculation gives

The values settle to $\boxed{p=0.35}$ to 2 decimal places.