常数 $a$ 满足 $\displaystyle\int_0^ax\mathrm{e}^{\frac12x}\,\mathrm{d}x=6$。

(a) 证明 $a=2+\mathrm{e}^{-\frac12a}$。

(b) 通过计算验证 $a$ 位于 $2.2$ 与 $2.4$ 之间。

(c) 使用基于 (a) 问中方程的迭代公式，求 $a$ 的值，精确到小数点后 $2$ 位。每次迭代的结果保留小数点后 $4$ 位。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

分部积分先求原函数，再代入上下限。注意零下限处指数项的值不为零。

Using $u=x$ and $\mathrm{d}v=e^{x/2}\,\mathrm{d}x$, integration by parts gives

Thus the given condition becomes

Hence

giving

把重排方程两边之差设成连续函数，计算两端并检查变号。

Let $f(a)=a-2-e^{-a/2}$. Then

Since $f$ is continuous and changes sign, a root lies in $(2.2,2.4)$. Moreover,

so it is the unique root. Hence $\boxed{2.2<a<2.4}$.

按(a)的重排建立迭代，取区间中的值作为初值。输出四位小数，内部计算保留完整精度。

Use

with $a_0=2.3$. The iterations are

Therefore $\boxed{a=2.31}$ to 2 decimal places.