题目

Problem

A fair red spinner has edges numbered 1, 2, 2, 3. A fair blue spinner has edges numbered $-3$ , $-2$ , $-1$ , $-1$ . Each spinner is spun once and the number on the edge on which each spinner lands is noted. The random variable $X$ denotes the sum of the resulting two numbers.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(b) Given that $\mathrm{E}(X)=0.25$ , find the value of $\operatorname{Var}(X)$ .

(2)

题目中文翻译

一个均匀的红色陀螺，其各边分别标有 1、2、2、3。一个均匀的蓝色陀螺，其各边分别标有 $-3$ 、 $-2$ 、 $-1$ 、 $-1$ 。每个陀螺各旋转一次，并记录每个陀螺停止时所落在的边上的数字。随机变量 $X$ 表示所得两个数字之和。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(b) 已知 $\mathrm{E}(X)=0.25$ ，求 $\operatorname{Var}(X)$ 的值。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

按陀螺的实际四条边列16种等可能结果，重复数字仍对应不同边。

答题过程

展开

The 16 equally likely pairs of spinner edges give these sums:

Red \ Blue	$-3$	$-2$	$-1$	$-1$
$1$	$-2$	$-1$	$0$	$0$
$2$	$-1$	$0$	$1$	$1$
$2$	$-1$	$0$	$1$	$1$
$3$	$0$	$1$	$2$	$2$

Thus

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$\mathrm{P}(X=x)$	$1/16$	$3/16$	$5/16$	$5/16$	$2/16$

(b)

解法一

思路

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用分布求二阶矩，再减已知均值0.25的平方。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{(-2)^2(1)+(-1)^2(3)+1^2(5)+2^2(2)}{16}\\[4mm] =&\,\frac54. \end{align*}

Therefore

\operatorname{Var}(X)=\frac54-\biggl(\frac14\biggr)^2 =\boxed{\frac{19}{16}}.

CIE 9709 2022 March Paper 52 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程