Alissa 有 Squares and Circles 系列中的 10 本不同的书。这些书除了颜色之外，外观相似。其中有 3 本蓝色书、2 本红色书、2 本黄色书、1 本橙色书、1 本紫色书和 1 本绿色书。

Alissa 将这些书在书架上排成一行。她只关注颜色的排列。

(a) 这 10 本书共有多少种不同的颜色排列？

(b) 若 3 本蓝色书相邻放在一起，但 2 本黄色书不相邻，这 10 本书共有多少种不同的颜色排列？

(c) 若 2 本黄色书之间恰好有 4 本书，这 10 本书共有多少种不同的颜色排列？

Alissa 从她的 Squares and Circles 系列的 10 本不同的书中选出 4 本。

(d) 若选出的 4 本书中有至少 1 本红色书、至多 1 本蓝色书和恰好 1 本黄色书，求不同的选法数。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

只关心颜色排列，相同颜色的书不区分，除以三蓝、两红、两黄各自的内部排列数。

把三蓝作为块，先算全部颜色排列，再减去两黄也相连的情况。

Treat BBB as one block. Along with R, R, Y, Y, O, P and G, there are eight objects, with two identical Rs and two identical Ys. Their arrangements number $\frac{8!}{2!\,2!}$.

If YY is also a block, there are seven objects with two identical Rs, giving $\frac{7!}{2!}$ arrangements. Hence

也可以先排蓝块、两红和另外三种单色，再从七个空隙中选两个放黄，保证黄不相邻。

Arrange BBB, R, R, O, P and G in $\frac{6!}{2!}$ ways. They create seven gaps including the end gaps.

Choose two distinct gaps for the identical Ys. Thus

两黄之间有4本书，位置相差5。左黄有5种位置，其余8格中有三蓝、两红。

The left Y can be in positions 1 through 5, with the right Y five positions later.

The remaining eight colours contain three identical Bs and two identical Rs. Hence

另一条路线把两黄及中间四书作为块，先暂时标记相同颜色，再消去蓝红标签。

Temporarily label the three blue and two red books.

Choose and order the four non-yellow books between the Ys in $\,{}_8\mathrm{P}_4$ ways. The block Y____Y and the four remaining labelled books have $5!$ arrangements.

Removing the blue and red labels divides by $3!\,2!$. Hence

本小题选的是不同实物书籍，不再只按颜色区分。按红、蓝本数分类，黄固定恰1本，剩下从橙紫绿三本中选择。

Here the individual books are distinct. Choose exactly one of the two yellow books.

The total is

也可以按蓝本数为0或1分类，在剩下的非蓝非黄书中用补集确保至少一本红书。

Choose the yellow book in $\binom21=2$ ways.

Among the non-blue, non-yellow books, there are two red books and three other books.

• With no blue book, choose three of these five, excluding the choice containing no red: $\binom53-\binom33=9$ ways.
• With one blue book, choose it in 3 ways, then choose two of the five non-blue books, excluding selections with no red: $3\bigl(\binom52-\binom32\bigr)=21$ ways.

Hence