题目

Problem

Suri has a bag containing 4 blue discs and 3 yellow discs. She selects one disc from the bag at random, notes its colour and returns it to the bag. She repeats this process until she obtains a yellow disc.

(a) Find the probability that Suri obtains a yellow disc for the first time on her 4th selection.

(1)

(b) Find the probability that Suri obtains a yellow disc for the second time on her 5th selection.

(2)

Tan has a bag containing 4 red discs and 3 green discs. He selects one disc from the bag at random and without replacement. He repeats this process until he obtains a green disc. The random variable $X$ is the number of discs that Tan needs to select in order to obtain a green disc.

(c) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(d) Find $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

Suri 有一个袋子，内有 4 个蓝色圆片和 3 个黄色圆片。她从袋中随机抽取一个圆片，记录其颜色后放回袋中。她重复这个过程，直到抽到一个黄色圆片为止。

(a) 求 Suri 在第 4 次抽取时首次抽到黄色圆片的概率。

(1)

(b) 求 Suri 在第 5 次抽取时第二次抽到黄色圆片的概率。

(2)

Tan 有一个袋子，内有 4 个红色圆片和 3 个绿色圆片。他从袋中随机抽取一个圆片且不放回。他重复这个过程，直到抽到一个绿色圆片为止。随机变量 $X$ 表示 Tan 为抽到一个绿色圆片所需抽取的圆片数。

(c) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(d) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题目勘误

官方原题：题干写 “She repeats this process until she obtains a yellow disc.”，即首次抽到黄色圆片便停止；但 (b) 又要求第 5 次抽取时第二次抽到黄色圆片。

实际上应为：在 (b) 中应继续进行有放回抽取，不在首次抽到黄色圆片时停止，才能讨论第二次抽到黄色圆片的事件。官方评分按继续抽取处理。本页保留官方英文原文及忠实的中文翻译，未更改题面。

解答

(a)

解法一

思路

展开

首次在第4次抽到黄片，要求前三次都蓝、第四次黄。有放回，因此每次颜色概率保持不变。

答题过程

展开

\mathrm{P}=\biggl(\frac47\biggr)^3\frac37 =\boxed{\frac{192}{2401}}.

(b)

解法一

思路

展开

按(b)所需的继续抽取情境，前4次恰有一次黄片，第5次再取到黄片。先前题目勘误中的停止规则区别仍需注意。

答题过程

展开

For part (b), continue drawing with replacement after the first yellow disc.

The first four selections must contain exactly one yellow disc and three blue discs, and the fifth must be yellow. Therefore,

\begin{align*} \mathrm{P}=&\,\binom41\frac37\biggl(\frac47\biggr)^3\frac37\\[4mm] =&\,4\biggl(\frac47\biggr)^3\biggl(\frac37\biggr)^2\\[4mm] =&\,\frac{2304}{16807}\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.137}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

Tan不放回抽取，首次绿色前只能抽到红色。红片只有4片，所以首次绿色的抽取次数范围为1至5，沿各条路径相乘。

答题过程

展开

There are only four red discs, so the first green disc must occur on one of selections 1 to 5.

\begin{align*} \mathrm{P}(X=1)=&\,\frac37=\frac{15}{35},\\[4mm] \mathrm{P}(X=2)=&\,\frac47\frac36=\frac{10}{35},\\[4mm] \mathrm{P}(X=3)=&\,\frac47\frac36\frac35=\frac6{35},\\[4mm] \mathrm{P}(X=4)=&\,\frac47\frac36\frac25\frac34=\frac3{35},\\[4mm] \mathrm{P}(X=5)=&\,\frac47\frac36\frac25\frac14\frac33=\frac1{35}. \end{align*}

Thus

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac{15}{35}$	$\frac{10}{35}$	$\frac6{35}$	$\frac3{35}$	$\frac1{35}$

These probabilities sum to 1.

(d)

解法一

思路

展开

用(c)的分布计算均值和平方的期望，再用方差公式。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{15+20+18+12+5}{35}=2,\\[4mm] \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{15+40+54+48+25}{35}\\[4mm] =&\,\frac{182}{35}=\frac{26}{5}. \end{align*}

Hence

\operatorname{Var}(X)=\frac{26}{5}-2^2=\boxed{\frac65}.

CIE 9709 2026 March Paper 52 Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程