某公司销售袋装意大利面。大袋意大利面的质量服从正态分布，平均数为 $2.40\,\mathrm{kg}$，标准差为 $0.18\,\mathrm{kg}$。

(a) 从大袋意大利面中随机抽取 400 袋，预计其中有多少袋的质量小于 $2.32\,\mathrm{kg}$？

小袋意大利面的质量服从正态分布，平均数为 $\mu\,\mathrm{kg}$，标准差为 $\sigma\,\mathrm{kg}$。其中 80% 的质量小于 $1.26\,\mathrm{kg}$，40% 的质量小于 $1.08\,\mathrm{kg}$。

(b) 求 $\mu$ 和 $\sigma$ 的值。

随机选取 8 小袋意大利面。

(c) 求这 8 小袋中质量小于 $1.26\,\mathrm{kg}$ 的袋数多于 5 的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先求单袋质量小于2.32的正态概率，再乘400。保留中间概率精度后，把预计袋数写成整数。

Let $M\sim\mathrm{N}(2.40,0.18^2)$ denote the mass of a large bag in kilograms. Then

The expected number is $400(0.328360\ldots)=131.344\ldots$, giving 131 bags.

将两条累计概率分别转为标准分数，再联立两个标准化等式。相减可先解标准差，再代回求均值。

The standard normal quantiles for probabilities 0.80 and 0.40 are $0.841621\ldots$ and $-0.253347\ldots$. Thus

Subtracting gives

Then

Therefore,

单袋小于1.26的概率由题设直接给出0.8，不需要使用(b)的近似参数重新计算。8袋中满足条件的袋数服从二项分布。

Let $X$ be the number of the 8 small bags with mass less than $1.26\,\mathrm{kg}$. Then $X\sim\mathrm{B}(8,0.8)$, so