题目

Problem

A fair 6-sided die has the numbers 1, 2, 2, 3, 3, 3 on its faces. The die is rolled twice. The random variable $X$ denotes the sum of the two numbers obtained.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(b) Find $\mathrm{E}(X)$ and $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

一枚均匀的六面骰子的各面分别标有数字 1、2、2、3、3、3。将这枚骰子投掷两次。随机变量 $X$ 表示所得两个数字之和。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(b) 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

单次1、2、3的概率分别1/6、2/6、3/6，列两次和的所有来源。

答题过程

展开

The probabilities for a single roll to give 1, 2 and 3 are $1/6$ , $2/6$ and $3/6$ . For the sum, the numerators over $36$ are

1^2,\quad 2(1)(2),\quad 2(1)(3)+2^2,\quad 2(2)(3),\quad 3^2.

Thus the distribution is

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\mathrm{P}(X=x)$	$1/36$	$4/36$	$10/36$	$12/36$	$9/36$

(b)

解法一

思路

展开

先由分布求一、二阶矩，再用方差等于二阶矩减均值平方。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{2+3(4)+4(10)+5(12)+6(9)}{36}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{14}{3}}. \end{align*}

Also,

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{2^2+3^2(4)+4^2(10)+5^2(12)+6^2(9)}{36}\\[4mm] =&\,\frac{206}{9}. \end{align*}

Hence

\operatorname{Var}(X)=\frac{206}{9}-\biggl(\frac{14}{3}\biggr)^2 =\boxed{\frac{10}{9}}.

CIE 9709 2022 June Paper 52 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程