题目

Problem

The random variable $X$ takes the values $-2$ , 1, 2, 3. It is given that $\mathrm{P}(X=x)=kx^2$ , where $k$ is a constant.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions.

(3)

(b) Find $\mathrm{E}(X)$ and $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的取值为 $-2$ 、1、2、3。已知 $\mathrm{P}(X=x)=kx^2$ ，其中 $k$ 为常数。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表，概率以数值分数表示。

(3)

(b) 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先令四项概率之和为1，注意负取值平方后概率仍为正。

答题过程

展开

The probabilities sum to 1, so

k\bigl[(-2)^2+1^2+2^2+3^2\bigr]=18k=1, \qquad k=\frac1{18}.

Thus

$x$	$-2$	$1$	$2$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$4/18$	$1/18$	$4/18$	$9/18$

(b)

解法一

思路

展开

均值的负取值保留负号；二阶矩才把取值平方。

答题过程

展开

\mathrm{E}(X)=\frac{(-2)(4)+1(1)+2(4)+3(9)}{18} =\boxed{\frac{14}{9}}.

Also,

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{(-2)^2(4)+1^2(1)+2^2(4)+3^2(9)}{18}\\[4mm] =&\,\frac{114}{18}=\frac{19}{3}. \end{align*}

Therefore

\operatorname{Var}(X)=\frac{19}{3}-\biggl(\frac{14}{9}\biggr)^2 =\boxed{\frac{317}{81}}.

CIE 9709 2022 June Paper 53 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程