题目

Problem

Eli has four fair 4-sided dice with sides labelled 1, 2, 3, 4. He throws all four dice at the same time. The random variable $X$ denotes the number of 2s obtained.

(a) Show that $\mathrm{P}(X=3)=\frac{3}{64}$ .

(2)

(b) Complete the following probability distribution table for $X$ .

(2)

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac{81}{256}$			$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

(2)

Eli throws the four dice at the same time on 96 occasions.

(d) Use an approximation to find the probability that he obtains at least two 2s on fewer than 20 of these occasions.

(5)

题目中文翻译

Eli 有四枚均匀的四面骰子，各面分别标有 1、2、3、4。他同时掷这四枚骰子。随机变量 $X$ 表示掷出 2 的骰子数。

(a) 证明 $\mathrm{P}(X=3)=\frac{3}{64}$ 。

(2)

(b) 补全下面 $X$ 的概率分布表。

(2)

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac{81}{256}$			$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

(2)

Eli 同时掷这四枚骰子，共进行 96 次。

(d) 用近似方法求在这 96 次中，掷出至少两个 2 的次数少于 20 次的概率。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

恰三枚骰子为2，选择唯一非2的骰子有4种位置。

答题过程

展开

Since $X\sim\mathrm{B}\bigl(4,\frac14\bigr)$ ,

\mathrm{P}(X=3)=\binom43\biggl(\frac14\biggr)^3\frac34 =\frac{12}{256}=\boxed{\frac3{64}}.

(b)

解法一

思路

展开

两个缺值用同一二项分布公式计算。

答题过程

展开

\mathrm{P}(X=1)=\binom41\frac14\biggl(\frac34\biggr)^3=\frac{27}{64},

\mathrm{P}(X=2)=\binom42\biggl(\frac14\biggr)^2\biggl(\frac34\biggr)^2=\frac{27}{128}.

The completed distribution is

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac3{64}$	$\frac1{256}$

(c)

解法一

思路

展开

从分布表求加权平均，展示各非零贡献。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{27}{64}+2\frac{27}{128}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+3\frac3{64}+4\frac1{256}\\[4mm] =&\,\frac{108+108+36+4}{256}=\boxed{1}. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

一次四骰中至少两枚2的概率由(a)(b)分布得到67/256，再以此作为96次二项试验的成功概率。

答题过程

展开

For one occasion,

p=\mathrm{P}(X\geq2)=\frac{27}{128}+\frac3{64}+\frac1{256} =\frac{67}{256}.

Let $S\sim\mathrm{B}(96,p)$ . Its mean and variance are

\mu=96p=25.125,\qquad v=96p(1-p)=18.54931640625.

Since $96p>5$ and $96(1-p)>5$ , use $Y\sim\mathrm{N}(25.125,v)$ . With a continuity correction,

\begin{align*} \mathrm{P}(S<20) =&\,\mathrm{P}(S\leq19)\\[4mm] \approx&\,\mathrm{P}(Y<19.5)\\[4mm] =&\,\Phi\biggl(\frac{19.5-25.125}{\sqrt v}\biggr)\\[4mm] =&\,0.095768406\ldots\approx\boxed{0.0958}. \end{align*}

CIE 9709 2023 June Paper 51 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程