题目

Problem

The random variable $X$ takes the values $-2$ , $2$ and $3$ . It is given that

\mathrm{P}(X=x)=k(x^2-1),

where $k$ is a constant.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions.

(3)

(b) Find $\mathrm{E}(X)$ and $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 取值为 $-2$ 、 $2$ 和 $3$ 。已知

\mathrm{P}(X=x)=k(x^2-1),

其中 $k$ 是常数。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表，将概率写成数值分数。

(3)

(b) 求 $\mathrm{E}(X)$ 和 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

三个概率为3k、3k、8k，利用总和求k。

答题过程

展开

3k+3k+8k=1,\qquad k=\frac1{14}.

Hence

$x$	$-2$	$2$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac3{14}$	$\frac3{14}$	$\frac8{14}$

(b)

解法一

思路

展开

先求均值，再用二阶矩减去均值平方求方差。

答题过程

展开

\mathrm{E}(X)=\frac{-2(3)+2(3)+3(8)}{14} =\boxed{\frac{12}{7}}.

Also,

\mathrm{E}(X^2)=\frac{4(3)+4(3)+9(8)}{14}=\frac{48}{7}.

Therefore

\operatorname{Var}(X)=\frac{48}{7}-\biggl(\frac{12}{7}\biggr)^2 =\frac{336-144}{49}=\boxed{\frac{192}{49}}.

CIE 9709 2023 June Paper 52 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程