题目

Problem

The random variable $X$ takes the values $1$ , $2$ , $3$ , $4$ . It is given that $\mathrm{P}(X=x)=kx(x+a)$ , where $k$ and $a$ are constants.

(a) Given that $\mathrm{P}(X=4)=3\mathrm{P}(X=2)$ , find the value of $a$ and the value of $k$ .

(4)

(b) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions.

(1)

(2)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 取值为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 。已知 $\mathrm{P}(X=x)=kx(x+a)$ ，其中 $k$ 和 $a$ 是常数。

(a) 已知 $\mathrm{P}(X=4)=3\mathrm{P}(X=2)$ ，求 $a$ 和 $k$ 的值。

(4)

(b) 列出 $X$ 的概率分布表，将概率写成数值分数。

(1)

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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先用概率比例求a，k不能为0，否则概率和不为1；再利用概率总和求k。

答题过程

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The condition gives

4k(4+a)=3\bigl[2k(2+a)\bigr].

Since $k\neq0$ , divide by $k$ :

16+4a=12+6a,\qquad \boxed{a=2}.

The probabilities are then $3k,8k,15k,24k$ . Their sum is 1, so

50k=1,\qquad \boxed{k=\frac1{50}}.

(b)

解法一

思路

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将(a)的k代入四个概率，用数值分数表示。

答题过程

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$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac3{50}$	$\frac8{50}$	$\frac{15}{50}$	$\frac{24}{50}$

(c)

解法一

思路

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均值已给3.2，直接算二阶矩后相减。

答题过程

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\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{1^2(3)+2^2(8)+3^2(15)+4^2(24)}{50}\\[4mm] =&\,\frac{554}{50}=11.08. \end{align*}

Hence

\operatorname{Var}(X)=11.08-(3.2)^2=\boxed{0.84}.

CIE 9709 2023 June Paper 53 Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程