题目

Problem

A summary of 20 values of $x$ gives

\sum(x-30)=439,\qquad \sum(x-30)^2=12\,405.

A summary of another 25 values of $x$ gives

\sum(x-30)=470,\qquad \sum(x-30)^2=11\,346.

(a) Find the mean of all 45 values of $x$ .

(2)

(b) Find the standard deviation of all 45 values of $x$ .

(2)

题目中文翻译

20 个 $x$ 值的汇总数据为

\sum(x-30)=439,\qquad \sum(x-30)^2=12\,405.

另外 25 个 $x$ 值的汇总数据为

\sum(x-30)=470,\qquad \sum(x-30)^2=11\,346.

(a) 求全部 45 个 $x$ 值的均值。

(2)

(b) 求全部 45 个 $x$ 值的标准差。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先合并偏移量x−30，再将平均偏移量加30还原均值。

答题过程

展开

Let $u=x-30$ . For all 45 values,

\sum u=439+470=909.

Hence

\overline x=30+\overline u=30+\frac{909}{45}=\boxed{50.2}.

解法二

思路

展开

也可以先还原两组的x总和，再加总除以45。

答题过程

展开

The two groups have totals

\sum x=439+20(30)=1039,

and

\sum x=470+25(30)=1220.

Thus the overall mean is

\overline x=\frac{1039+1220}{45}=\boxed{50.2}.

(b)

解法一

思路

展开

所有数据减去同一常数不会改变标准差，因此直接使用合并后的偏移平方和。

答题过程

展开

For $u=x-30$ ,

\sum u^2=12405+11346=23751.

A shift by 30 does not change standard deviation. Hence

\begin{align*} \sigma_x=\sigma_u=&\,\sqrt{\frac{23751}{45}-\biggl(\frac{909}{45}\biggr)^2}\\[4mm] =&\,\sqrt{119.76}=10.943491\ldots\\[4mm] \approx&\,\boxed{10.9}. \end{align*}

CIE 9709 2024 June Paper 51 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程