题目

Problem

Jasmine has one $5 coin, two $2 coins and two $1 coins. She selects two of these coins at random. The random variable $X$ is the total value, in dollars, of these two coins.

(a) Show that $\mathrm{P}(X=7)=0.2$ .

(1)

(b) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

题目中文翻译

Jasmine 有一枚 $5 硬币、两枚 $2 硬币和两枚 $1 硬币。她从这些硬币中随机选取两枚。随机变量 $X$ 为这两枚硬币的总面值，以元为单位。

(a) 证明 $\mathrm{P}(X=7)=0.2$ 。

(1)

(b) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

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总额7只能是一枚5元与一枚2元，共两种实物硬币组合，总组合10种。

答题过程

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A total of 7 dollars requires the 5-dollar coin and one of the two 2-dollar coins. Therefore

\mathrm{P}(X=7)=\frac{\binom11\binom21}{\binom52} =\frac2{10}=\boxed{0.2}.

解法二

思路

展开

另一条路线按抽取次序，先5后2或先2后5两条路径相加。

答题过程

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\mathrm{P}(X=7)=\frac15\frac24+\frac25\frac14 =\frac2{20}+\frac2{20}=\boxed{0.2}.

(b)

解法一

思路

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五枚实际硬币选两枚共有10种等概率组合，逐个总额计数。

答题过程

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The possible coin values and numbers of selections are

Total $x$	Coin values	Selections
$2$	$1+1$	$1$
$3$	$1+2$	$2\times2=4$
$4$	$2+2$	$1$
$6$	$1+5$	$2$
$7$	$2+5$	$2$

Dividing by $\binom52=10$ gives

$x$	$2$	$3$	$4$	$6$	$7$
$\mathrm{P}(X=x)$	$0.1$	$0.4$	$0.1$	$0.2$	$0.2$

(c)

解法一

思路

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先求均值及二阶矩，方差为二阶矩减去均值平方。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,2(0.1)+3(0.4)+4(0.1)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+6(0.2)+7(0.2)\\[4mm] =&\,4.4, \end{align*}

and

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,2^2(0.1)+3^2(0.4)+4^2(0.1)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+6^2(0.2)+7^2(0.2)=22.6. \end{align*}

Hence

\operatorname{Var}(X)=22.6-(4.4)^2=\boxed{3.24}.

CIE 9709 2024 June Paper 52 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程