题目

Problem

The numbers on the faces of a fair six-sided dice are 1, 2, 2, 3, 3, 3. The random variable $X$ is the total score when the dice is rolled twice.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(b) Find the value of $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

(2)

题目中文翻译

一颗均匀六面骰子的各面分别标有 1、2、2、3、3、3。随机变量 $X$ 为将这颗骰子掷两次所得点数之和。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 的值。

(3)

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

单次点数1、2、3的概率分别为1/6、2/6、3/6，按两次点数和合并路径。

答题过程

展开

The scores 1, 2 and 3 have probabilities $\frac16,\frac26,\frac36$ . Independence gives

\mathrm{P}(X=2)=\frac1{36},\qquad \mathrm{P}(X=3)=2\frac16\frac26=\frac4{36},

\mathrm{P}(X=4)=2\frac16\frac36+\biggl(\frac26\biggr)^2=\frac{10}{36},

\mathrm{P}(X=5)=2\frac26\frac36=\frac{12}{36},\qquad \mathrm{P}(X=6)=\biggl(\frac36\biggr)^2=\frac9{36}.

Thus

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac1{36}$	$\frac4{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{12}{36}$	$\frac9{36}$

(b)

解法一

思路

展开

用分布表求两个矩，保留精确分数计算方差。

答题过程

展开

\mathrm{E}(X)=\frac{2+3(4)+4(10)+5(12)+6(9)}{36} =\frac{168}{36}=\frac{14}{3},

\begin{align*} \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{4+9(4)+16(10)}{36}\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{25(12)+36(9)}{36}\\[4mm] =&\,\frac{824}{36}=\frac{206}{9}. \end{align*}

Hence

\operatorname{Var}(X)=\frac{206}{9}-\biggl(\frac{14}{3}\biggr)^2 =\boxed{\frac{10}{9}}.

(c)

解法一

思路

展开

已知大于3，样本空间仅有4、5、6；其中偶数为4、6。

答题过程

展开

\mathrm{P}(X\text{ even}\mid X>3) =\frac{(10+9)/36}{(10+12+9)/36}=\boxed{\frac{19}{31}}.

CIE 9709 2024 June Paper 53 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程