题目

Problem

For a set of 40 values of $x$ , it is found that

\sum (x-k)=836.0,\qquad \sum (x-k)^2=25410.8,

where $k$ is a constant.

(a) Given that the mean of these 40 values is $124.0$ , find the value of $k$ .

(2)

(b) Find the standard deviation of these 40 values of $x$ .

(2)

题目中文翻译

对于 $x$ 的一组 40 个数值，已知

\sum (x-k)=836.0,\qquad \sum (x-k)^2=25410.8,

其中 $k$ 是常数。

(a) 已知这 40 个数值的均值为 $124.0$ ，求 $k$ 的值。

(2)

(b) 求 $x$ 的这 40 个数值的标准差。

(2)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

偏离值的平均等于原均值减k，用836除40後解k。

答题过程

展开

\begin{align*} \overline{x-k}=&\,124.0-k=\frac{836.0}{40}=20.9,\\[4mm] k=&\,124.0-20.9=\boxed{103.1}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

所有数据减同一常数不改变标准差，直接以偏离值的和及平方和计算。

答题过程

展开

Subtracting a constant does not change the standard deviation. Therefore,

\begin{align*} s=&\,\sqrt{\frac{25410.8}{40} -\biggl(\frac{836.0}{40}\biggr)^2}\\[4mm] =&\,\sqrt{635.27-436.81}\\[4mm] =&\,\sqrt{198.46}\\[4mm] =&\,14.08758\ldots\\[4mm] \approx&\,\boxed{14.1}. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先展开偏离值平方和，还原原数据的平方和，再使用原均值求标准差。

答题过程

展开

Since $\sum x=40(124)=4960$ and $k=103.1$ ,

\sum(x-k)^2=\sum x^2-2k\sum x+40k^2.

Hence

\begin{align*} \sum x^2=&\,25410.8+2(103.1)(4960)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-40(103.1)^2\\[4mm] =&\,622978.4. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} s=&\,\sqrt{\frac{622978.4}{40}-124^2}\\[4mm] =&\,\sqrt{198.46}\\[4mm] \approx&\,\boxed{14.1}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

CIE 9709 2025 June Paper 53 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程