CalcGospel 國際數學圖譜
返回

CIE 9709 2025 June Paper 53 Q3

A Level / CIE / S1

CIE 9709 2025 June Paper 53 Paper · Question 3

题目

Problem

A fair six-sided dice with faces labelled 1, 2, 3, 4, 5, 6 is thrown repeatedly until a 3 is obtained. The number of throws taken is denoted by the random variable XX.

(a) Find P(X=8)\mathrm{P}(X=8).

(1)

(b) Find P(X<9)\mathrm{P}(X<9).

(2)

(c) Find the probability that a 3 is obtained for the second time before the 6th throw.

(3)
题目中文翻译

反复掷一枚各面分别标有 1、2、3、4、5、6 的均匀六面骰子，直到掷出 3 为止。随机变量 XX 表示所需的掷骰次数。

(a) 求 P(X=8)\mathrm{P}(X=8)。

(1)

(b) 求 P(X<9)\mathrm{P}(X<9)。

(2)

(c) 求在第 6 次掷骰之前第二次掷出 3 的概率。

(3)
原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

题目勘误

官方原题：题干写“thrown repeatedly until a 3 is obtained”，即首次掷出 3 后停止；但 (c) 又要求在第 6 次掷骰之前第二次掷出 3 的概率，两者的停止条件不一致。

实际上应为：在 (c) 中应继续掷骰，不在首次掷出 3 时停止，才能讨论第二次掷出 3 的情况。官方评分按继续掷骰处理。本页保留官方英文原文及忠实的中文翻译，未更改题面。

解答

(a)

解法一

思路

展开

第8次首次出现3，前7次都不是3，第8次才成功。

答题过程

展开 P(X=8)=(56)716=781251679616≈0.0465(3 s.f.).\mathrm{P}(X=8)=\biggl(\frac56\biggr)^7\frac16 =\frac{78125}{1679616} \approx\boxed{0.0465}\quad\text{(3 s.f.)}.

(b)

解法一

思路

展开

少于9次即前8次内首次成功，用1减去前8次完全没有3的概率。

答题过程

展开 P(X<9)=1−(56)8≈0.767(3 s.f.).\mathrm{P}(X<9)=1-\biggl(\frac56\biggr)^8 \approx\boxed{0.767}\quad\text{(3 s.f.)}.

解法二

思路

展开

也可以把首次成功在第1至第8次的概率相加，再使用等比数列和。

答题过程

展开 P(X<9)= ∑k=18(56)k−116= 161−(5/6)81−5/6≈ 0.767(3 s.f.).\begin{align*} \mathrm{P}(X<9) =&\,\sum_{k=1}^{8}\biggl(\frac56\biggr)^{k-1}\frac16\\[4mm] =&\,\frac16\frac{1-(5/6)^8}{1-5/6}\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.767}\quad\text{(3 s.f.)}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

按已有题目勘误，考虑首次3后继续掷骰。第二次3在第6次之前，等价于前5次至少出现两个3，可以用二项分布取补集。

答题过程

展开

For part (c), continue throwing after the first 3.

Let YY be the number of 3s in the first five throws. Then Y∼B(5,16)Y\sim\mathrm{B}(5,\frac16). The second 3 occurs before throw 6 exactly when Y≥2Y\geq2, so

P(Y≥2)= 1−(56)5−516(56)4= 7633888.\begin{align*} \mathrm{P}(Y\geq2) =&\,1-\biggl(\frac56\biggr)^5 -5\frac16\biggl(\frac56\biggr)^4\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{763}{3888}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

另一条路线仍按继续掷骰的情境，将第二次成功发生在第2、3、4、5次分类。每一项先在此前的次数中安排一次成功，再令最后一次成功。

答题过程

展开

Continue throwing after the first 3. The possible throws for the second 3 are 2, 3, 4 and 5.

P= (16)2+2(16)256 +3(16)2(56)2 +4(16)2(56)3= 7633888.\begin{align*} \mathrm{P} =&\,\biggl(\frac16\biggr)^2 +2\biggl(\frac16\biggr)^2\frac56\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+3\biggl(\frac16\biggr)^2 \biggl(\frac56\biggr)^2\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+4\biggl(\frac16\biggr)^2 \biggl(\frac56\biggr)^3\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{763}{3888}}. \end{align*}

For a second 3 on throw kk, the factor k−1k-1 counts the possible positions of the first 3.