题目

Problem

A company sells bags of pasta. The masses of large bags of pasta are normally distributed with mean $2.50\,\mathrm{kg}$ and standard deviation $0.12\,\mathrm{kg}$ .

(a) Find the probability that the mass of pasta in a randomly chosen large bag is less than $2.65\,\mathrm{kg}$ .

(2)

A restaurant manager buys 160 of these large bags of pasta.

(b) Find the number of bags for which you would expect the mass of pasta to be more than $1.65$ standard deviations above the mean.

(3)

The masses of small bags of pasta sold by the company are normally distributed with mean $\mu\,\mathrm{kg}$ and standard deviation $\sigma\,\mathrm{kg}$ . Tests show that $77\%$ of these bags have masses greater than $1.26\,\mathrm{kg}$ , and $44\%$ have masses less than $1.35\,\mathrm{kg}$ .

(5)

题目中文翻译

某公司销售袋装意大利面。大袋意大利面的质量服从正态分布，均值为 $2.50\,\mathrm{kg}$ ，标准差为 $0.12\,\mathrm{kg}$ 。

(a) 随机选取一大袋意大利面，求其中意大利面的质量小于 $2.65\,\mathrm{kg}$ 的概率。

(2)

一位餐厅经理购买了 160 袋这种大袋意大利面。

(b) 预计有多少袋意大利面的质量比均值高出超过 $1.65$ 个标准差？

(3)

该公司销售的小袋意大利面的质量服从正态分布，均值为 $\mu\,\mathrm{kg}$ ，标准差为 $\sigma\,\mathrm{kg}$ 。检测表明，这些小袋中， $77\%$ 的质量大于 $1.26\,\mathrm{kg}$ ， $44\%$ 的质量小于 $1.35\,\mathrm{kg}$ 。

(5)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

质量上界标准化后求左尾概率。

答题过程

展开

Let $M\sim\mathrm{N}(2.50,0.12^2)$ denote large-bag mass in kilograms. Then

\begin{align*} \mathrm{P}(M<2.65) =&\,\Phi\biggl(\frac{2.65-2.50}{0.12}\biggr)\\[4mm] =&\,\Phi(1.25)\\[4mm] =&\,0.894350\ldots\\[4mm] \approx&\,\boxed{0.894}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

均值以上1.65个标准差，标准化后边界直接为1.65，不需要重新求质量单位下的区间。

答题过程

展开

The mass threshold is $2.50+1.65(0.12)=2.698\,\mathrm{kg}$ . Hence

\mathrm{P}(M>2.698)=1-\Phi(1.65)=0.049471\ldots.

The expected number is $160(0.049471\ldots)=7.9154\ldots$ , giving 8 bags.

(c)

解法一

思路

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1.26处右尾0.77即左尾0.23；1.35处左尾0.44，两边都低于均值。两分位点标准化后联立求参数。

答题过程

展开

The given probabilities imply

\mathrm{P}(M<1.26)=0.23,\qquad \mathrm{P}(M<1.35)=0.44.

Thus

\begin{align*} 1.26-\mu=&\,-0.738846\ldots\,\sigma,\\[4mm] 1.35-\mu=&\,-0.150969\ldots\,\sigma. \end{align*}

Subtracting,

\begin{align*} 0.09=&\,(0.738846\ldots-0.150969\ldots)\sigma,\\[4mm] \sigma=&\,0.153093\ldots. \end{align*}

Then $\mu=1.26+0.738846\ldots\,\sigma=1.373112\ldots$ , so

\boxed{\mu\approx1.37,\qquad\sigma\approx0.153}.

CIE 9709 2025 June Paper 53 Q6

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程