题目

Problem

A fair red 4-sided spinner has sides numbered $1$ , $2$ , $3$ , $3$ .

A fair blue 4-sided spinner has sides numbered $-2$ , $-1$ , $-1$ , $1$ .

The two spinners are spun and the numbers on the sides on which they land are noted. The random variable $X$ is the sum of the two numbers obtained.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ .

(3)

(b) Find $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

一个均匀的红色四面陀螺，四个面上的数字分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $3$ 。

一个均匀的蓝色四面陀螺，四个面上的数字分别为 $-2$ 、 $-1$ 、 $-1$ 、 $1$ 。

转动这两个陀螺，记录它们落定的面上的数字。随机变量 $X$ 为所得两个数字的和。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

两个陀螺各有四个等可能的面，因此有16个等可能的有序结果。重复的数字必须按不同的面分别计数，再统计各个和。

答题过程

展开

The 16 equally likely sums are shown below. Repeated row or column labels represent different faces.

Red \ Blue	$-2$	$-1$	$-1$	$1$
$1$	$-1$	$0$	$0$	$2$
$2$	$0$	$1$	$1$	$3$
$3$	$1$	$2$	$2$	$4$
$3$	$1$	$2$	$2$	$4$

Hence the probability distribution is

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac1{16}$	$\frac3{16}$	$\frac4{16}$	$\frac5{16}$	$\frac1{16}$	$\frac2{16}$

(b)

解法一

思路

展开

由分布表分别计算一阶矩和二阶矩，再用方差等于二阶矩减均值的平方。

答题过程

展开

Using the distribution in (a),

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{-1+0+4+10+3+8}{16}\\[4mm] =&\,\frac32,\\[4mm] \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{1+0+4+20+9+32}{16}\\[4mm] =&\,\frac{33}{8}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,\mathrm{E}(X^2)-\bigl(\mathrm{E}(X)\bigr)^2\\[4mm] =&\,\frac{33}{8}-\frac94\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{15}{8}}. \end{align*}

CIE 9709 2026 June Paper 51 Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程