在某学院的 150 名学生中，每人恰好学习美术、商科或戏剧中的一门。学习各门科目的男、女生人数如下表所示。

随机选取一名学生。

$A$ 表示所选学生学习美术的事件。

$B$ 表示所选学生学习商科的事件。

$M$ 表示所选学生为男生的事件。

(a) 求 $\mathrm{P}(A\cup B)$。

(b) 判断事件 $B$ 和 $M$ 是否独立。

(c) 求 $\mathrm{P}(M\mid A)$。

(d) 求 $\mathrm{P}(M'\cap B')$。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

每人只学习一门科目，因此美术和商科互斥，可以直接合并人数。

There are $14+16=30$ Art students and $28+42=70$ Business students. Since $A$ and $B$ are mutually exclusive,

独立事件满足交集概率等于两事件概率的乘积。分别从表中计算这两个量再比较。

Since

the events $B$ and $M$ are independent.

也可以判断在已知所选学生为男生时，学习商科的概率是否改变。将条件概率与原来的商科概率比较。

Among the 60 male students, 28 study Business, so

For all students,

Since $\mathrm{P}(B\mid M)=\mathrm{P}(B)$, the events $B$ and $M$ are independent.

已知学习美术，样本范围缩小为30名美术学生，其中14名是男生。

同时不为男生且不学习商科，就是学习美术或戏剧的女生。

The required students are the 16 female Art students and the 32 female Drama students. Hence