成年印度象的身高服从均值为 $2.74\,\mathrm{m}$、标准差为 $0.25\,\mathrm{m}$ 的正态分布。

从这些大象中随机抽取 250 头作为样本。

(a) 预计这 250 头大象中，有多少头的身高在 $2.40\,\mathrm{m}$ 与 $3.10\,\mathrm{m}$ 之间？

成年非洲象的身高服从均值为 $\mu\,\mathrm{m}$、标准差为 $0.28\,\mathrm{m}$ 的正态分布。已知 62% 的成年非洲象身高大于 $3.15\,\mathrm{m}$。

(b) 求 $\mu$ 的值。

随机抽取 90 头成年非洲象作为样本。

(c) 利用近似方法，求这 90 头大象中超过 50 头的身高大于 $3.15\,\mathrm{m}$ 的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

先将两个身高边界标准化，算出区间概率，再乘样本数。预计头数取整数。

Let $H$ be the height, in metres, of an adult Indian elephant. Then $H\sim\mathrm{N}(2.74,0.25^2)$.

For $Z\sim\mathrm{N}(0,1)$,

The expected number is $250\times0.838151\ldots=209.54\ldots$, giving 210 elephants.

右尾概率为0.62，意味着3.15低于均值，其左侧累计概率为0.38。先找对应的负标准分数再求均值。

Let $H$ be the height, in metres, of an adult African elephant. Since $\mathrm{P}(H>3.15)=0.62$,

The corresponding standard normal quantile is $\Phi^{-1}(0.38)=-0.30548\ldots$. Therefore,

样本中超过指定身高的头数服从二项分布。均值和方差足够大，可用正态近似；“超过50”从51开始，连续性修正后的边界是50.5。

Let $X$ be the number of elephants in the sample with height greater than $3.15\,\mathrm{m}$. Then

Here $np=55.8$ and $n(1-p)=34.2$ are both greater than 5, so a normal approximation is suitable. Its mean and variance are

Use $Y\sim\mathrm{N}(55.8,21.204)$. Applying a continuity correction,