Ling 有三枚硬币。每枚硬币都不均匀，掷出正面的概率均为 $\frac13$。Ling 同时掷这三枚硬币，随机变量 $X$ 表示他掷出的正面个数。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表。

Ling 反复同时掷这三枚硬币。

(b) 求他在第 7 次投掷时首次掷出至少两个正面的概率。

(c) 求他在第 6 次或第 7 次投掷时第二次掷出至少两个正面的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

每次同时投三枚硬币，正面个数服从三次试验的二项分布。按0至3个正面计算。

For one throw of all three coins,

For $x=0,1,2,3$,

Thus

将一次同时投三枚硬币所得“至少两个正面”定义为一次成功。先用(a)求成功概率，再要求前6次失败、第7次成功。

For each throw of the three coins, let a success mean obtaining at least two heads. From (a),

The first success must follow six failures, so

第二次成功在第6次出现，要求前5次恰有一次成功；在第7次出现则要求前6次恰有一次成功。两个事件互斥，概率相加。

Use $p=\frac7{27}$ and $q=1-p=\frac{20}{27}$.

The second success occurs on throw 6 with probability $\binom51pq^4p$, and on throw 7 with probability $\binom61pq^5p$. These events are mutually exclusive. Hence