题目

Problem

The random variable $X$ takes the values $-2$ , $0$ , $1$ , $3$ . It is given that $\mathrm{P}(X=x)=k(x+1)^2$ , where $k$ is a constant.

(a) Draw up the probability distribution table for $X$ , giving the probabilities as numerical fractions not involving $k$ .

(3)

(b) Find the value of $\operatorname{Var}(X)$ .

(3)

题目中文翻译

随机变量 $X$ 的取值为 $-2$ 、 $0$ 、 $1$ 、 $3$ 。已知 $\mathrm{P}(X=x)=k(x+1)^2$ ，其中 $k$ 为常数。

(a) 列出 $X$ 的概率分布表，概率用不含 $k$ 的数值分数表示。

(3)

(b) 求 $\operatorname{Var}(X)$ 的值。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

先代入四个可能值，得到概率之比1比1比4比16，再用概率总和为1求常数。

答题过程

展开

For $x=-2,0,1,3$ , the values of $(x+1)^2$ are respectively $1,1,4,16$ . Since probabilities sum to 1,

(1+1+4+16)k=1,\qquad k=\frac1{22}.

Thus

$x$	$-2$	$0$	$1$	$3$
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac1{22}$	$\frac1{22}$	$\frac4{22}$	$\frac{16}{22}$

(b)

解法一

思路

展开

分别算均值与平方的期望，再用方差公式。负值在均值中保留负号，在平方的期望中变为正数。

答题过程

展开

\begin{align*} \mathrm{E}(X)=&\,\frac{-2+0+4+48}{22}=\frac{25}{11},\\[4mm] \mathrm{E}(X^2)=&\,\frac{4+0+4+144}{22}=\frac{76}{11}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} \operatorname{Var}(X)=&\,\frac{76}{11}-\biggl(\frac{25}{11}\biggr)^2\\[4mm] =&\,\frac{836-625}{121}\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{211}{121}}. \end{align*}

CIE 9709 2026 June Paper 53 Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程