印度眼镜蛇的长度服从均值为 $125\,\mathrm{cm}$、标准差为 $8\,\mathrm{cm}$ 的正态分布。

(a) 求随机选取的一条印度眼镜蛇的长度在 $105\,\mathrm{cm}$ 与 $135\,\mathrm{cm}$ 之间的概率。

印度眼镜蛇的质量服从均值为 $2.5\,\mathrm{kg}$、标准差为 $\sigma\,\mathrm{kg}$ 的正态分布。已知 81% 的印度眼镜蛇质量小于 $2.7\,\mathrm{kg}$。

(b) 求 $\sigma$ 的值。

随机抽取 80 条印度眼镜蛇作为样本。

(c) 利用近似方法，求这 80 条印度眼镜蛇中质量小于 $2.7\,\mathrm{kg}$ 的条数少于 60 条的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将长度的两个边界标准化，注意区间跨过均值，要保留均值两侧的概率。

Let $L\sim\mathrm{N}(125,8^2)$ denote length in centimetres. Then

左尾概率0.81对应正标准分数。用已知均值和边界写标准化等式，再解出正的标准差。

Let $M\sim\mathrm{N}(2.5,\sigma^2)$ denote mass in kilograms. Since $\mathrm{P}(M<2.7)=0.81$,

Thus

满足质量限制的条数服从二项分布。用正态分布近似，方差是np乘以1减p；少于60的连续性修正边界为59.5。

Let $X$ be the number of snakes with mass less than $2.7\,\mathrm{kg}$. Then $X\sim\mathrm{B}(80,0.81)$.

Here $np=64.8$ and $n(1-p)=15.2$ are both greater than 5. Use the approximation

where $12.312=80(0.81)(0.19)$ is the variance. With a continuity correction,