某品牌盒装糖果的质量服从正态分布，平均数为 420 克，标准差为 6.4 克。

(a) 求随机选取的一盒该品牌糖果的质量介于 412 克与 424 克之间的概率。

第二个品牌盒装糖果的质量服从正态分布，平均数为 240 克，标准差为 $\sigma$ 克。从该品牌糖果中随机抽取的 500 盒中，有 42 盒的质量大于 245 克。

(b) 求 $\sigma$ 的值。

第三个品牌盒装糖果的质量服从正态分布，平均数为 $\mu$ 克，标准差为 $0.25\mu$ 克。

(c) 求随机选取的一盒该品牌糖果的质量大于 $1.2\mu$ 克的概率。

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

将两个质量边界标准化，计算两标准分数之间的概率。原变量连续，不需要连续性修正。

Let $M\sim\mathrm{N}(420,6.4^2)$ denote mass in grams. Then

用样本中超过245克的比例估计右尾概率，转成左尾概率后求标准分数，再解标准差。

Use the observed proportion to estimate

so $\mathrm{P}(M\leq245)=0.916$. Standardising gives

Therefore,

标准差为均值的四分之一，因此均值为正，标准化时可约去均值。所求概率只取决于相对差距。

Since the standard deviation is $0.25\mu>0$, we have $\mu>0$. Hence