题目

Problem

A game is played with an ordinary fair 6-sided die. A player throws the die once. If the result is 2, 3, 4 or 5, that result is the player’s score and the player does not throw the die again. If the result is 1 or 6, the player throws the die a second time and the player’s score is the sum of the two numbers from the two throws.

(a) Draw a fully labelled tree diagram to represent this information.

(2)

Events $A$ and $B$ are defined as follows.

$A$ : the player’s score is 5, 6, 7, 8 or 9

$B$ : the player has two throws

(b) Show that $\mathrm{P}(A)=\frac{1}{3}$ .

(3)

(2)

(d) Find $\mathrm{P}(B\mid A')$ .

(3)

题目中文翻译

用一枚普通的均匀六面骰子进行游戏。玩家先掷一次骰子。若结果为 2、3、4 或 5，该结果就是玩家的得分，玩家不再掷骰子。若结果为 1 或 6，玩家再掷一次骰子，其得分为两次掷出的数字之和。

(a) 画一幅标注完整的树状图表示这些信息。

(2)

事件 $A$ 和 $B$ 定义如下。

$A$ ：玩家的得分为 5、6、7、8 或 9

$B$ ：玩家掷了两次骰子

(b) 证明 $\mathrm{P}(A)=\frac{1}{3}$ 。

(3)

(2)

(d) 求 $\mathrm{P}(B\mid A')$ 。

(3)

原卷通用作答要求

Answer all questions. You should use a calculator where appropriate.

You must show all necessary working clearly; no marks will be given for unsupported answers from a calculator.

Give non-exact numerical answers correct to 3 significant figures, or 1 decimal place for angles in degrees, unless a different level of accuracy is specified in the question.

请回答所有题目。适当时应使用计算器。必须清楚展示所有必要的计算过程；仅给出计算器答案而没有过程，不予评分。除非题目另有精度要求，非精确数值答案保留 3 位有效数字，以度为单位的角度保留 1 位小数。

解答

(a)

解法一

思路

展开

第一层六条分支全为1/6；只有首次1或6的分支继续第二层六个结果，其余分支终止。

答题过程

展开

Draw six first-throw branches labelled $1,2,3,4,5,6$ , each with probability $\frac16$ .

For first results 2, 3, 4 or 5, terminate the branch with that score.
For first results 1 and 6, draw six further branches labelled $1,2,3,4,5,6$ , each with conditional probability $\frac16$ . Label the resulting score as the sum of the two throws.

(b)

解法一

思路

展开

逐个总分5至9识别合法路径，首次2至5不能再投，所以5另有直接首次5路径。

答题过程

展开

The required score probabilities are

Score	Permitted outcomes	Probability
$5$	First throw 5, or $(1,4)$	$\frac16+\frac1{36}=\frac7{36}$
$6$	$(1,5)$	$\frac1{36}$
$7$	$(1,6),(6,1)$	$\frac2{36}$
$8$	$(6,2)$	$\frac1{36}$
$9$	$(6,3)$	$\frac1{36}$

Therefore

\mathrm{P}(A)=\frac{7+1+2+1+1}{36}=\frac{12}{36}=\boxed{\frac13}.

(c)

解法一

思路

展开

两投的概率由首次1或6得到，交集为(b)中六条两投路径，比较乘积与交集。

答题过程

展开

A second throw occurs precisely when the first throw is 1 or 6, so

\mathrm{P}(B)=\frac26=\frac13.

From (b), six two-throw outcomes have scores in A. Hence

\mathrm{P}(A\cap B)=\frac6{36}=\frac16.

But

\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)=\frac13\frac13=\frac19\neq\frac16.

Therefore A and B are not independent.

(d)

解法一

思路

展开

B且非A可用B减去交集，分母为非A。

答题过程

展开

\mathrm{P}(B\cap A')=\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B) =\frac13-\frac16=\frac16.

Thus

\mathrm{P}(B\mid A')=\frac{1/6}{1-1/3}=\boxed{\frac14}.

CIE 9709 2022 November Paper 51 Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

(d)

解法一

思路

答题过程